3.237 \(\int \frac {A+B \log (\frac {e (a+b x)}{c+d x})}{(f+g x)^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=183 \[ -\frac {B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )+A}{2 g (f+g x)^2}+\frac {b^2 B \log (a+b x)}{2 g (b f-a g)^2}-\frac {B (b c-a d)}{2 (f+g x) (b f-a g) (d f-c g)}+\frac {B (b c-a d) \log (f+g x) (-a d g-b c g+2 b d f)}{2 (b f-a g)^2 (d f-c g)^2}-\frac {B d^2 \log (c+d x)}{2 g (d f-c g)^2} \]

[Out]

-1/2*B*(-a*d+b*c)/(-a*g+b*f)/(-c*g+d*f)/(g*x+f)+1/2*b^2*B*ln(b*x+a)/g/(-a*g+b*f)^2+1/2*(-A-B*ln(e*(b*x+a)/(d*x
+c)))/g/(g*x+f)^2-1/2*B*d^2*ln(d*x+c)/g/(-c*g+d*f)^2+1/2*B*(-a*d+b*c)*(-a*d*g-b*c*g+2*b*d*f)*ln(g*x+f)/(-a*g+b
*f)^2/(-c*g+d*f)^2

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.19, antiderivative size = 183, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 4, number of rules used = 3, integrand size = 27, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.111, Rules used = {2525, 12, 72} \[ -\frac {B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )+A}{2 g (f+g x)^2}+\frac {b^2 B \log (a+b x)}{2 g (b f-a g)^2}-\frac {B (b c-a d)}{2 (f+g x) (b f-a g) (d f-c g)}+\frac {B (b c-a d) \log (f+g x) (-a d g-b c g+2 b d f)}{2 (b f-a g)^2 (d f-c g)^2}-\frac {B d^2 \log (c+d x)}{2 g (d f-c g)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^3,x]

[Out]

-(B*(b*c - a*d))/(2*(b*f - a*g)*(d*f - c*g)*(f + g*x)) + (b^2*B*Log[a + b*x])/(2*g*(b*f - a*g)^2) - (A + B*Log
[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(2*g*(f + g*x)^2) - (B*d^2*Log[c + d*x])/(2*g*(d*f - c*g)^2) + (B*(b*c - a*d)*(2*b*
d*f - b*c*g - a*d*g)*Log[f + g*x])/(2*(b*f - a*g)^2*(d*f - c*g)^2)

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 72

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(
e + f*x)^p/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IntegerQ[p]

Rule 2525

Int[((a_.) + Log[(c_.)*(RFx_)^(p_.)]*(b_.))^(n_.)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((d + e*x)^(m
+ 1)*(a + b*Log[c*RFx^p])^n)/(e*(m + 1)), x] - Dist[(b*n*p)/(e*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((d + e*x)^(m +
1)*(a + b*Log[c*RFx^p])^(n - 1)*D[RFx, x])/RFx, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, p}, x] && RationalFunc
tionQ[RFx, x] && IGtQ[n, 0] && (EqQ[n, 1] || IntegerQ[m]) && NeQ[m, -1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {A+B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )}{(f+g x)^3} \, dx &=-\frac {A+B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )}{2 g (f+g x)^2}+\frac {B \int \frac {b c-a d}{(a+b x) (c+d x) (f+g x)^2} \, dx}{2 g}\\ &=-\frac {A+B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )}{2 g (f+g x)^2}+\frac {(B (b c-a d)) \int \frac {1}{(a+b x) (c+d x) (f+g x)^2} \, dx}{2 g}\\ &=-\frac {A+B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )}{2 g (f+g x)^2}+\frac {(B (b c-a d)) \int \left (\frac {b^3}{(b c-a d) (b f-a g)^2 (a+b x)}-\frac {d^3}{(b c-a d) (-d f+c g)^2 (c+d x)}+\frac {g^2}{(b f-a g) (d f-c g) (f+g x)^2}-\frac {g^2 (-2 b d f+b c g+a d g)}{(b f-a g)^2 (d f-c g)^2 (f+g x)}\right ) \, dx}{2 g}\\ &=-\frac {B (b c-a d)}{2 (b f-a g) (d f-c g) (f+g x)}+\frac {b^2 B \log (a+b x)}{2 g (b f-a g)^2}-\frac {A+B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )}{2 g (f+g x)^2}-\frac {B d^2 \log (c+d x)}{2 g (d f-c g)^2}+\frac {B (b c-a d) (2 b d f-b c g-a d g) \log (f+g x)}{2 (b f-a g)^2 (d f-c g)^2}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.50, size = 169, normalized size = 0.92 \[ \frac {B (b c-a d) \left (\frac {b^2 \log (a+b x)}{(b c-a d) (b f-a g)^2}+\frac {\frac {d^2 \log (c+d x)}{a d-b c}+\frac {g (c g-d f)}{(f+g x) (b f-a g)}-\frac {g \log (f+g x) (a d g+b c g-2 b d f)}{(b f-a g)^2}}{(d f-c g)^2}\right )-\frac {B \log \left (\frac {e (a+b x)}{c+d x}\right )+A}{(f+g x)^2}}{2 g} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^3,x]

[Out]

(-((A + B*Log[(e*(a + b*x))/(c + d*x)])/(f + g*x)^2) + B*(b*c - a*d)*((b^2*Log[a + b*x])/((b*c - a*d)*(b*f - a
*g)^2) + ((g*(-(d*f) + c*g))/((b*f - a*g)*(f + g*x)) + (d^2*Log[c + d*x])/(-(b*c) + a*d) - (g*(-2*b*d*f + b*c*
g + a*d*g)*Log[f + g*x])/(b*f - a*g)^2)/(d*f - c*g)^2))/(2*g)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 139.54, size = 1017, normalized size = 5.56 \[ -\frac {A b^{2} d^{2} f^{4} + A a^{2} c^{2} g^{4} - {\left ({\left (2 \, A - B\right )} b^{2} c d + {\left (2 \, A + B\right )} a b d^{2}\right )} f^{3} g + {\left ({\left (A - B\right )} b^{2} c^{2} + 4 \, A a b c d + {\left (A + B\right )} a^{2} d^{2}\right )} f^{2} g^{2} - {\left ({\left (2 \, A - B\right )} a b c^{2} + {\left (2 \, A + B\right )} a^{2} c d\right )} f g^{3} + {\left ({\left (B b^{2} c d - B a b d^{2}\right )} f^{2} g^{2} - {\left (B b^{2} c^{2} - B a^{2} d^{2}\right )} f g^{3} + {\left (B a b c^{2} - B a^{2} c d\right )} g^{4}\right )} x - {\left (B b^{2} d^{2} f^{4} - 2 \, B b^{2} c d f^{3} g + B b^{2} c^{2} f^{2} g^{2} + {\left (B b^{2} d^{2} f^{2} g^{2} - 2 \, B b^{2} c d f g^{3} + B b^{2} c^{2} g^{4}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (B b^{2} d^{2} f^{3} g - 2 \, B b^{2} c d f^{2} g^{2} + B b^{2} c^{2} f g^{3}\right )} x\right )} \log \left (b x + a\right ) + {\left (B b^{2} d^{2} f^{4} - 2 \, B a b d^{2} f^{3} g + B a^{2} d^{2} f^{2} g^{2} + {\left (B b^{2} d^{2} f^{2} g^{2} - 2 \, B a b d^{2} f g^{3} + B a^{2} d^{2} g^{4}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (B b^{2} d^{2} f^{3} g - 2 \, B a b d^{2} f^{2} g^{2} + B a^{2} d^{2} f g^{3}\right )} x\right )} \log \left (d x + c\right ) - {\left (2 \, {\left (B b^{2} c d - B a b d^{2}\right )} f^{3} g - {\left (B b^{2} c^{2} - B a^{2} d^{2}\right )} f^{2} g^{2} + {\left (2 \, {\left (B b^{2} c d - B a b d^{2}\right )} f g^{3} - {\left (B b^{2} c^{2} - B a^{2} d^{2}\right )} g^{4}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (2 \, {\left (B b^{2} c d - B a b d^{2}\right )} f^{2} g^{2} - {\left (B b^{2} c^{2} - B a^{2} d^{2}\right )} f g^{3}\right )} x\right )} \log \left (g x + f\right ) + {\left (B b^{2} d^{2} f^{4} + B a^{2} c^{2} g^{4} - 2 \, {\left (B b^{2} c d + B a b d^{2}\right )} f^{3} g + {\left (B b^{2} c^{2} + 4 \, B a b c d + B a^{2} d^{2}\right )} f^{2} g^{2} - 2 \, {\left (B a b c^{2} + B a^{2} c d\right )} f g^{3}\right )} \log \left (\frac {b e x + a e}{d x + c}\right )}{2 \, {\left (b^{2} d^{2} f^{6} g + a^{2} c^{2} f^{2} g^{5} - 2 \, {\left (b^{2} c d + a b d^{2}\right )} f^{5} g^{2} + {\left (b^{2} c^{2} + 4 \, a b c d + a^{2} d^{2}\right )} f^{4} g^{3} - 2 \, {\left (a b c^{2} + a^{2} c d\right )} f^{3} g^{4} + {\left (b^{2} d^{2} f^{4} g^{3} + a^{2} c^{2} g^{7} - 2 \, {\left (b^{2} c d + a b d^{2}\right )} f^{3} g^{4} + {\left (b^{2} c^{2} + 4 \, a b c d + a^{2} d^{2}\right )} f^{2} g^{5} - 2 \, {\left (a b c^{2} + a^{2} c d\right )} f g^{6}\right )} x^{2} + 2 \, {\left (b^{2} d^{2} f^{5} g^{2} + a^{2} c^{2} f g^{6} - 2 \, {\left (b^{2} c d + a b d^{2}\right )} f^{4} g^{3} + {\left (b^{2} c^{2} + 4 \, a b c d + a^{2} d^{2}\right )} f^{3} g^{4} - 2 \, {\left (a b c^{2} + a^{2} c d\right )} f^{2} g^{5}\right )} x\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*log(e*(b*x+a)/(d*x+c)))/(g*x+f)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(A*b^2*d^2*f^4 + A*a^2*c^2*g^4 - ((2*A - B)*b^2*c*d + (2*A + B)*a*b*d^2)*f^3*g + ((A - B)*b^2*c^2 + 4*A*a
*b*c*d + (A + B)*a^2*d^2)*f^2*g^2 - ((2*A - B)*a*b*c^2 + (2*A + B)*a^2*c*d)*f*g^3 + ((B*b^2*c*d - B*a*b*d^2)*f
^2*g^2 - (B*b^2*c^2 - B*a^2*d^2)*f*g^3 + (B*a*b*c^2 - B*a^2*c*d)*g^4)*x - (B*b^2*d^2*f^4 - 2*B*b^2*c*d*f^3*g +
B*b^2*c^2*f^2*g^2 + (B*b^2*d^2*f^2*g^2 - 2*B*b^2*c*d*f*g^3 + B*b^2*c^2*g^4)*x^2 + 2*(B*b^2*d^2*f^3*g - 2*B*b^
2*c*d*f^2*g^2 + B*b^2*c^2*f*g^3)*x)*log(b*x + a) + (B*b^2*d^2*f^4 - 2*B*a*b*d^2*f^3*g + B*a^2*d^2*f^2*g^2 + (B
*b^2*d^2*f^2*g^2 - 2*B*a*b*d^2*f*g^3 + B*a^2*d^2*g^4)*x^2 + 2*(B*b^2*d^2*f^3*g - 2*B*a*b*d^2*f^2*g^2 + B*a^2*d
^2*f*g^3)*x)*log(d*x + c) - (2*(B*b^2*c*d - B*a*b*d^2)*f^3*g - (B*b^2*c^2 - B*a^2*d^2)*f^2*g^2 + (2*(B*b^2*c*d
- B*a*b*d^2)*f*g^3 - (B*b^2*c^2 - B*a^2*d^2)*g^4)*x^2 + 2*(2*(B*b^2*c*d - B*a*b*d^2)*f^2*g^2 - (B*b^2*c^2 - B
*a^2*d^2)*f*g^3)*x)*log(g*x + f) + (B*b^2*d^2*f^4 + B*a^2*c^2*g^4 - 2*(B*b^2*c*d + B*a*b*d^2)*f^3*g + (B*b^2*c
^2 + 4*B*a*b*c*d + B*a^2*d^2)*f^2*g^2 - 2*(B*a*b*c^2 + B*a^2*c*d)*f*g^3)*log((b*e*x + a*e)/(d*x + c)))/(b^2*d^
2*f^6*g + a^2*c^2*f^2*g^5 - 2*(b^2*c*d + a*b*d^2)*f^5*g^2 + (b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*f^4*g^3 - 2*(a*b*c
^2 + a^2*c*d)*f^3*g^4 + (b^2*d^2*f^4*g^3 + a^2*c^2*g^7 - 2*(b^2*c*d + a*b*d^2)*f^3*g^4 + (b^2*c^2 + 4*a*b*c*d
+ a^2*d^2)*f^2*g^5 - 2*(a*b*c^2 + a^2*c*d)*f*g^6)*x^2 + 2*(b^2*d^2*f^5*g^2 + a^2*c^2*f*g^6 - 2*(b^2*c*d + a*b*
d^2)*f^4*g^3 + (b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*f^3*g^4 - 2*(a*b*c^2 + a^2*c*d)*f^2*g^5)*x)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 2.09, size = 7600, normalized size = 41.53 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*log(e*(b*x+a)/(d*x+c)))/(g*x+f)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*B*b^5*c^2*d*f^3*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - 4
*B*a*b^4*c*d^2*f^3*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) + 2*B*a
^2*b^3*d^3*f^3*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - B*b^5*c^3
*f^2*g*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - 3*B*a*b^4*c^2*d*f
^2*g*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) + 9*B*a^2*b^3*c*d^2*f
^2*g*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - 5*B*a^3*b^2*d^3*f^2
*g*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) + 2*B*a*b^4*c^3*f*g^2*e
^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - 6*B*a^3*b^2*c*d^2*f*g^2*e
^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) + 4*B*a^4*b*d^3*f*g^2*e^3*l
og(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - B*a^2*b^3*c^3*g^3*e^3*log(-b*
f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) + B*a^3*b^2*c^2*d*g^3*e^3*log(-b*f*e
+ a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) + B*a^4*b*c*d^2*g^3*e^3*log(-b*f*e + a*g*
e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - B*a^5*d^3*g^3*e^3*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e
+ a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c)) - 4*(b*x*e + a*e)*B*b^4*c^2*d^2*f^3*e^2*log(-b*f*e + a*g*
e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) + 8*(b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c*d^3*f^3*e
^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) - 4*(b*x*e + a*e)
*B*a^2*b^2*d^4*f^3*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x +
c) + 6*(b*x*e + a*e)*B*b^4*c^3*d*f^2*g*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*
g/(d*x + c))/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c^2*d^2*f^2*g*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x
+ c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c*d^3*f^2*g*e^2*log(-b*f*e + a*g*e
+ (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) + 6*(b*x*e + a*e)*B*a^3*b*d^4*f^2*g*e^2
*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)*B
*b^4*c^4*f*g^2*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) -
4*(b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c^3*d*f*g^2*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/
(d*x + c))/(d*x + c) + 12*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c^2*d^2*f*g^2*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*
x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) - 4*(b*x*e + a*e)*B*a^3*b*c*d^3*f*g^2*e^2*log(-b*f*e + a*g*e +
(b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)*B*a^4*d^4*f*g^2*e^2*lo
g(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*B*a*
b^3*c^4*g^3*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) - 2*
(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c^3*d*g^3*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*
x + c))/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)*B*a^3*b*c^2*d^2*g^3*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) -
(b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*B*a^4*c*d^3*g^3*e^2*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*
e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^2*d^3*f^3*e*log(-b*f*e +
a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - 4*(b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2*c*
d^4*f^3*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 2*(b*x
*e + a*e)^2*B*a^2*b*d^5*f^3*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/
(d*x + c)^2 - 5*(b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^3*d^2*f^2*g*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*
e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 9*(b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2*c^2*d^3*f^2*g*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e +
a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - 3*(b*x*e + a*e)^2*B*a^2*b*c*d^4*f^2*g*e*log(-b
*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - (b*x*e + a*e)^2*B*a^3*
d^5*f^2*g*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 4*(b
*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^4*d*f*g^2*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x +
c))/(d*x + c)^2 - 6*(b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2*c^3*d^2*f*g^2*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) -
(b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 2*(b*x*e + a*e)^2*B*a^3*c*d^4*f*g^2*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e
+ a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - (b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^5*g^3*e*log(-b*f*e +
a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2*c^4*
d*g^3*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + (b*x*e +
a*e)^2*B*a^2*b*c^3*d^2*g^3*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*c*g/(d*x + c))/
(d*x + c)^2 - (b*x*e + a*e)^2*B*a^3*c^2*d^3*g^3*e*log(-b*f*e + a*g*e + (b*x*e + a*e)*d*f/(d*x + c) - (b*x*e +
a*e)*c*g/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 2*(b*x*e + a*e)*B*b^4*c^2*d^2*f^3*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)
- 4*(b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c*d^3*f^3*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*d^
4*f^3*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) - 4*(b*x*e + a*e)*B*b^4*c^3*d*f^2*g*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*
x + c))/(d*x + c) + 6*(b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c^2*d^2*f^2*g*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) - 2*(b*x*
e + a*e)*B*a^3*b*d^4*f^2*g*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*B*b^4*c^4*f*g^2*e^2*lo
g((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c^2*d^2*f*g^2*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c)
)/(d*x + c) + 4*(b*x*e + a*e)*B*a^3*b*c*d^3*f*g^2*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)
*B*a*b^3*c^4*g^3*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) + 4*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c^3*d*g^3*e^2*log((b*x
*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)*B*a^3*b*c^2*d^2*g^3*e^2*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c
) - 2*(b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^2*d^3*f^3*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 4*(b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2
*c*d^4*f^3*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - 2*(b*x*e + a*e)^2*B*a^2*b*d^5*f^3*e*log((b*x*e + a*e)/
(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 5*(b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^3*d^2*f^2*g*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - 9*
(b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2*c^2*d^3*f^2*g*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 3*(b*x*e + a*e)^2*B*a^2*b*c
*d^4*f^2*g*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*B*a^3*d^5*f^2*g*e*log((b*x*e + a*e)/(d
*x + c))/(d*x + c)^2 - 4*(b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^4*d*f*g^2*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 6*(b*x
*e + a*e)^2*B*a*b^2*c^3*d^2*f*g^2*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - 2*(b*x*e + a*e)^2*B*a^3*c*d^4*f
*g^2*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*B*b^3*c^5*g^3*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))
/(d*x + c)^2 - (b*x*e + a*e)^2*B*a*b^2*c^4*d*g^3*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 - (b*x*e + a*e)^2*
B*a^2*b*c^3*d^2*g^3*e*log((b*x*e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*B*a^3*c^2*d^3*g^3*e*log((b*x*
e + a*e)/(d*x + c))/(d*x + c)^2 + 2*A*b^5*c^2*d*f^3*e^3 - 4*A*a*b^4*c*d^2*f^3*e^3 + 2*A*a^2*b^3*d^3*f^3*e^3 -
A*b^5*c^3*f^2*g*e^3 + B*b^5*c^3*f^2*g*e^3 - 3*A*a*b^4*c^2*d*f^2*g*e^3 - 3*B*a*b^4*c^2*d*f^2*g*e^3 + 9*A*a^2*b^
3*c*d^2*f^2*g*e^3 + 3*B*a^2*b^3*c*d^2*f^2*g*e^3 - 5*A*a^3*b^2*d^3*f^2*g*e^3 - B*a^3*b^2*d^3*f^2*g*e^3 + 2*A*a*
b^4*c^3*f*g^2*e^3 - 2*B*a*b^4*c^3*f*g^2*e^3 + 6*B*a^2*b^3*c^2*d*f*g^2*e^3 - 6*A*a^3*b^2*c*d^2*f*g^2*e^3 - 6*B*
a^3*b^2*c*d^2*f*g^2*e^3 + 4*A*a^4*b*d^3*f*g^2*e^3 + 2*B*a^4*b*d^3*f*g^2*e^3 - A*a^2*b^3*c^3*g^3*e^3 + B*a^2*b^
3*c^3*g^3*e^3 + A*a^3*b^2*c^2*d*g^3*e^3 - 3*B*a^3*b^2*c^2*d*g^3*e^3 + A*a^4*b*c*d^2*g^3*e^3 + 3*B*a^4*b*c*d^2*
g^3*e^3 - A*a^5*d^3*g^3*e^3 - B*a^5*d^3*g^3*e^3 - 2*(b*x*e + a*e)*A*b^4*c^2*d^2*f^3*e^2/(d*x + c) + 4*(b*x*e +
a*e)*A*a*b^3*c*d^3*f^3*e^2/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)*A*a^2*b^2*d^4*f^3*e^2/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*A*b^
4*c^3*d*f^2*g*e^2/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*B*b^4*c^3*d*f^2*g*e^2/(d*x + c) + 3*(b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c^2*d^2*
f^2*g*e^2/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*A*a^2*b^2*c*d^3*f^2*g*e^2/(d*x + c) - 3*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c*d^3*f^
2*g*e^2/(d*x + c) + 4*(b*x*e + a*e)*A*a^3*b*d^4*f^2*g*e^2/(d*x + c) + (b*x*e + a*e)*B*a^3*b*d^4*f^2*g*e^2/(d*x
+ c) + (b*x*e + a*e)*B*b^4*c^4*f*g^2*e^2/(d*x + c) - 4*(b*x*e + a*e)*A*a*b^3*c^3*d*f*g^2*e^2/(d*x + c) - 2*(b
*x*e + a*e)*B*a*b^3*c^3*d*f*g^2*e^2/(d*x + c) + 6*(b*x*e + a*e)*A*a^2*b^2*c^2*d^2*f*g^2*e^2/(d*x + c) + 2*(b*x
*e + a*e)*B*a^3*b*c*d^3*f*g^2*e^2/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)*A*a^4*d^4*f*g^2*e^2/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*B*
a^4*d^4*f*g^2*e^2/(d*x + c) - (b*x*e + a*e)*B*a*b^3*c^4*g^3*e^2/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*A*a^2*b^2*c^3*d*g^
3*e^2/(d*x + c) + 3*(b*x*e + a*e)*B*a^2*b^2*c^3*d*g^3*e^2/(d*x + c) - 4*(b*x*e + a*e)*A*a^3*b*c^2*d^2*g^3*e^2/
(d*x + c) - 3*(b*x*e + a*e)*B*a^3*b*c^2*d^2*g^3*e^2/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*A*a^4*c*d^3*g^3*e^2/(d*x + c)
+ (b*x*e + a*e)*B*a^4*c*d^3*g^3*e^2/(d*x + c))*(b*c/((b*c*e - a*d*e)*(b*c - a*d)) - a*d/((b*c*e - a*d*e)*(b*c
- a*d)))/(b^4*d^2*f^6*e^2 - 2*b^4*c*d*f^5*g*e^2 - 4*a*b^3*d^2*f^5*g*e^2 + b^4*c^2*f^4*g^2*e^2 + 8*a*b^3*c*d*f^
4*g^2*e^2 + 6*a^2*b^2*d^2*f^4*g^2*e^2 - 4*a*b^3*c^2*f^3*g^3*e^2 - 12*a^2*b^2*c*d*f^3*g^3*e^2 - 4*a^3*b*d^2*f^3
*g^3*e^2 + 6*a^2*b^2*c^2*f^2*g^4*e^2 + 8*a^3*b*c*d*f^2*g^4*e^2 + a^4*d^2*f^2*g^4*e^2 - 4*a^3*b*c^2*f*g^5*e^2 -
2*a^4*c*d*f*g^5*e^2 + a^4*c^2*g^6*e^2 - 2*(b*x*e + a*e)*b^3*d^3*f^6*e/(d*x + c) + 6*(b*x*e + a*e)*b^3*c*d^2*f
^5*g*e/(d*x + c) + 6*(b*x*e + a*e)*a*b^2*d^3*f^5*g*e/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*b^3*c^2*d*f^4*g^2*e/(d*x + c)
- 18*(b*x*e + a*e)*a*b^2*c*d^2*f^4*g^2*e/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*a^2*b*d^3*f^4*g^2*e/(d*x + c) + 2*(b*x*e
+ a*e)*b^3*c^3*f^3*g^3*e/(d*x + c) + 18*(b*x*e + a*e)*a*b^2*c^2*d*f^3*g^3*e/(d*x + c) + 18*(b*x*e + a*e)*a^2*
b*c*d^2*f^3*g^3*e/(d*x + c) + 2*(b*x*e + a*e)*a^3*d^3*f^3*g^3*e/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*a*b^2*c^3*f^2*g^4*
e/(d*x + c) - 18*(b*x*e + a*e)*a^2*b*c^2*d*f^2*g^4*e/(d*x + c) - 6*(b*x*e + a*e)*a^3*c*d^2*f^2*g^4*e/(d*x + c)
+ 6*(b*x*e + a*e)*a^2*b*c^3*f*g^5*e/(d*x + c) + 6*(b*x*e + a*e)*a^3*c^2*d*f*g^5*e/(d*x + c) - 2*(b*x*e + a*e)
*a^3*c^3*g^6*e/(d*x + c) + (b*x*e + a*e)^2*b^2*d^4*f^6/(d*x + c)^2 - 4*(b*x*e + a*e)^2*b^2*c*d^3*f^5*g/(d*x +
c)^2 - 2*(b*x*e + a*e)^2*a*b*d^4*f^5*g/(d*x + c)^2 + 6*(b*x*e + a*e)^2*b^2*c^2*d^2*f^4*g^2/(d*x + c)^2 + 8*(b*
x*e + a*e)^2*a*b*c*d^3*f^4*g^2/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*a^2*d^4*f^4*g^2/(d*x + c)^2 - 4*(b*x*e + a*e)^2*b
^2*c^3*d*f^3*g^3/(d*x + c)^2 - 12*(b*x*e + a*e)^2*a*b*c^2*d^2*f^3*g^3/(d*x + c)^2 - 4*(b*x*e + a*e)^2*a^2*c*d^
3*f^3*g^3/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*b^2*c^4*f^2*g^4/(d*x + c)^2 + 8*(b*x*e + a*e)^2*a*b*c^3*d*f^2*g^4/(d*x
+ c)^2 + 6*(b*x*e + a*e)^2*a^2*c^2*d^2*f^2*g^4/(d*x + c)^2 - 2*(b*x*e + a*e)^2*a*b*c^4*f*g^5/(d*x + c)^2 - 4*
(b*x*e + a*e)^2*a^2*c^3*d*f*g^5/(d*x + c)^2 + (b*x*e + a*e)^2*a^2*c^4*g^6/(d*x + c)^2)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.16, size = 5274, normalized size = 28.82 \[ \text {output too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((B*ln((b*x+a)/(d*x+c)*e)+A)/(g*x+f)^3,x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.99, size = 351, normalized size = 1.92 \[ \frac {1}{2} \, {\left (\frac {b^{2} \log \left (b x + a\right )}{b^{2} f^{2} g - 2 \, a b f g^{2} + a^{2} g^{3}} - \frac {d^{2} \log \left (d x + c\right )}{d^{2} f^{2} g - 2 \, c d f g^{2} + c^{2} g^{3}} + \frac {{\left (2 \, {\left (b^{2} c d - a b d^{2}\right )} f - {\left (b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}\right )} g\right )} \log \left (g x + f\right )}{b^{2} d^{2} f^{4} + a^{2} c^{2} g^{4} - 2 \, {\left (b^{2} c d + a b d^{2}\right )} f^{3} g + {\left (b^{2} c^{2} + 4 \, a b c d + a^{2} d^{2}\right )} f^{2} g^{2} - 2 \, {\left (a b c^{2} + a^{2} c d\right )} f g^{3}} - \frac {b c - a d}{b d f^{3} + a c f g^{2} - {\left (b c + a d\right )} f^{2} g + {\left (b d f^{2} g + a c g^{3} - {\left (b c + a d\right )} f g^{2}\right )} x} - \frac {\log \left (\frac {b e x}{d x + c} + \frac {a e}{d x + c}\right )}{g^{3} x^{2} + 2 \, f g^{2} x + f^{2} g}\right )} B - \frac {A}{2 \, {\left (g^{3} x^{2} + 2 \, f g^{2} x + f^{2} g\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*log(e*(b*x+a)/(d*x+c)))/(g*x+f)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(b^2*log(b*x + a)/(b^2*f^2*g - 2*a*b*f*g^2 + a^2*g^3) - d^2*log(d*x + c)/(d^2*f^2*g - 2*c*d*f*g^2 + c^2*g^
3) + (2*(b^2*c*d - a*b*d^2)*f - (b^2*c^2 - a^2*d^2)*g)*log(g*x + f)/(b^2*d^2*f^4 + a^2*c^2*g^4 - 2*(b^2*c*d +
a*b*d^2)*f^3*g + (b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2)*f^2*g^2 - 2*(a*b*c^2 + a^2*c*d)*f*g^3) - (b*c - a*d)/(b*d*f^3
+ a*c*f*g^2 - (b*c + a*d)*f^2*g + (b*d*f^2*g + a*c*g^3 - (b*c + a*d)*f*g^2)*x) - log(b*e*x/(d*x + c) + a*e/(d
*x + c))/(g^3*x^2 + 2*f*g^2*x + f^2*g))*B - 1/2*A/(g^3*x^2 + 2*f*g^2*x + f^2*g)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 7.21, size = 417, normalized size = 2.28 \[ \frac {\ln \left (f+g\,x\right )\,\left (g\,\left (B\,a^2\,d^2-B\,b^2\,c^2\right )-2\,B\,a\,b\,d^2\,f+2\,B\,b^2\,c\,d\,f\right )}{2\,a^2\,c^2\,g^4-4\,a^2\,c\,d\,f\,g^3+2\,a^2\,d^2\,f^2\,g^2-4\,a\,b\,c^2\,f\,g^3+8\,a\,b\,c\,d\,f^2\,g^2-4\,a\,b\,d^2\,f^3\,g+2\,b^2\,c^2\,f^2\,g^2-4\,b^2\,c\,d\,f^3\,g+2\,b^2\,d^2\,f^4}-\frac {\frac {A\,a\,c\,g^2+A\,b\,d\,f^2-A\,a\,d\,f\,g-A\,b\,c\,f\,g-B\,a\,d\,f\,g+B\,b\,c\,f\,g}{a\,c\,g^2+b\,d\,f^2-a\,d\,f\,g-b\,c\,f\,g}-\frac {x\,\left (B\,a\,d\,g^2-B\,b\,c\,g^2\right )}{a\,c\,g^2+b\,d\,f^2-a\,d\,f\,g-b\,c\,f\,g}}{2\,f^2\,g+4\,f\,g^2\,x+2\,g^3\,x^2}+\frac {B\,b^2\,\ln \left (a+b\,x\right )}{2\,a^2\,g^3-4\,a\,b\,f\,g^2+2\,b^2\,f^2\,g}-\frac {B\,\ln \left (\frac {e\,\left (a+b\,x\right )}{c+d\,x}\right )}{2\,g\,\left (f^2+2\,f\,g\,x+g^2\,x^2\right )}-\frac {B\,d^2\,\ln \left (c+d\,x\right )}{2\,c^2\,g^3-4\,c\,d\,f\,g^2+2\,d^2\,f^2\,g} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A + B*log((e*(a + b*x))/(c + d*x)))/(f + g*x)^3,x)

[Out]

(log(f + g*x)*(g*(B*a^2*d^2 - B*b^2*c^2) - 2*B*a*b*d^2*f + 2*B*b^2*c*d*f))/(2*a^2*c^2*g^4 + 2*b^2*d^2*f^4 + 2*
a^2*d^2*f^2*g^2 + 2*b^2*c^2*f^2*g^2 - 4*a*b*c^2*f*g^3 - 4*a*b*d^2*f^3*g - 4*a^2*c*d*f*g^3 - 4*b^2*c*d*f^3*g +
8*a*b*c*d*f^2*g^2) - ((A*a*c*g^2 + A*b*d*f^2 - A*a*d*f*g - A*b*c*f*g - B*a*d*f*g + B*b*c*f*g)/(a*c*g^2 + b*d*f
^2 - a*d*f*g - b*c*f*g) - (x*(B*a*d*g^2 - B*b*c*g^2))/(a*c*g^2 + b*d*f^2 - a*d*f*g - b*c*f*g))/(2*f^2*g + 2*g^
3*x^2 + 4*f*g^2*x) + (B*b^2*log(a + b*x))/(2*a^2*g^3 + 2*b^2*f^2*g - 4*a*b*f*g^2) - (B*log((e*(a + b*x))/(c +
d*x)))/(2*g*(f^2 + g^2*x^2 + 2*f*g*x)) - (B*d^2*log(c + d*x))/(2*c^2*g^3 + 2*d^2*f^2*g - 4*c*d*f*g^2)

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*ln(e*(b*x+a)/(d*x+c)))/(g*x+f)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________